प्रश्नावली 8.1 (गणित) 

Q1.  DABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है | निम्न लिखित का मान ज्ञात कीजिए :

(i) sin A, cos A

(ii) sin C, cos C

Solution:

समकोण त्रिभुज DABC में,

AB = 24 cm, BC = 7 cm

पाइथागोरस प्रमेय से,

AC² = AB² + BC²

= 24² + 7²

= 576 + 49

= 625

AC = √625 = 25 cm

अब तत्रिकोणमितिय अनुपात लेने पर

(i) sin A, cos A

 

Q2.  आकृति 8.13 में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए |   

Solution:

PQ = 12 cm, PR = 13 cm

QR = ?

समकोण त्रिभुज DPQR  में,

PQ = 12 cm, PR = 13 cm

पाइथागोरस प्रमेय से,

PR² = PQ² + QR²

13² = 12² + QR²

169 = 144 + QR²

169 – 144 = QR²

QR² = 25

QR = √25 = 5 cm

अब तत्रिकोणमितिय अनुपात लेने पर

प्रश्नावली 8.2

Q1. निम्नलिखित के मान निकालिए:

(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

हल: sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

सभी त्रिकोंणमितीय अनुपातों का मान रखने पर

 (ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°

हल: 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°

Q2. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए : 

(A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°

(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है :

(A) 0°     (B) 30°    (C) 45°     (D) 60°

हल: sin 2A = 2 sin A

⇒ 2 sin A cos A = 2 sin A [  sin 2x = 2 sin x cos x]

⇒ cos A = 2 sin A – 2 sin A

⇒ cos A = 0

∴        A = 0^o

विकल्प (A) सत्य है |

A का मान समीकरण (iii) में रखने पर

A + B = 60°

⇒ 45° + B = 60°

⇒ B = 60° – 45°

⇒ B = 15°

A = 45°, B = 15°

Q4. बताइए कि निम्नलिखित में से कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं | कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए |

(i) sin (A + B) = sin A + sin B.

(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है |

(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है |

(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ

(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है |

उत्तर:

(i) दिया गया कथन असत्य है |

(ii) दिया गया कथन सत्य है |

(iii) दिया गया कथन असत्य है |

(iv) दिया गया कथन असत्य है |

(v) दिया गया कथन सत्य है |

प्रश्नावली 8.3

Q1. निम्नलिखित का मान निकालिए:

(iii) cos 48° – sin 42°

हल: cos 48° – sin 42°

⇒  sin(90° – 48°) – sin 42°

⇒  sin 42° – sin 42° = 0

(iv) cosec 31° – sec 59°

हल: cosec 31° – sec 59°

⇒  sec (90° – 31°) – sec 59°  [ cosec q = sec (90° – q) ]

⇒  sec 59° – sec 59° = 0

Q2.  दिखाइए कि

(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1

हल: (i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1

LHS = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°

= cot (90° – 48°) tan (90° – 23°) tan 42° tan 67°

= cot 42° cot 67° tan 42° tan 67°

= (cot 42° × tan 42°) (cot 67° × tan 67°)

= 1 × 1   [ cot A × tan A = 1 ]

= 1

LHS = RHS

(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0

हल: (ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0

LHS = cos 38° cos 52°  sin 38° sin 52°

= sin (90° – 38°) cos 52° – cos (90° – 38°) sin 52°

= sin 52° cos 52° – cos 52° sin 52°

= sin 52° (cos 52° – cos 52°)

= sin 52° × 0

= 0

LHS = RHS

Q3.  यदि tan 2A = cot(A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए |

हल: tan 2A = cot(A – 18°),

⇒ cot (90° – 2A) = cot(A – 18°)

दोनों पक्षों में तुलना करने पर

⇒     90° – 2A = A – 18°

⇒   90° + 18° = A + 2A

⇒ 3A = 108°

Q4.  यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°

हल: tan A = cot B    दिया है |

⇒  tan A = tan (90° – B)  तुलना करने पर

⇒      A = 90° – B

⇒  A + B = 90°  Proved

Q5. यदि sec 4A = cosec(A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए |

हल: sec 4A = cosec(A – 20°)

⇒ cosec (90° – 4A) = cosec(A – 20°)  [ sec q = (90°– q) ]

तुलना करने पर

⇒ 90° – 4A = A – 20°

⇒ 90° + 20° = A + 4A

⇒   5A = 110°

Q7. sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितिय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए |

हल : sin 67° + cos 75°

⇒   cos (90° – 67°) + sin (90° – 75°)

⇒   cos 23° + sin 15°

NCERT SOLUTION 

अभ्यास 8.4

Q4.  सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:

(i) 9 sec² A – 9 tan² A बराबर है:

(A)  1              (B)  9             (C)  8       (D)  0

Correct Answer: (B) 9

Solution:

9 sec² A – 9 tan² A = 9(sec² A – tan² A)

= 9 × 1 = 9

(ii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर हैं :

(A)     sec A (B)    sin A (C)    cosec A      (D)    cosA

Correct Answer: (D) cosA

Q5.  निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण है :

अत: LHS = RHS proved