NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद) (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials

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प्रश्नावली 2.1 

Q1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं  और कौन-कौन नहीं हैं ? कारण के साथ उत्तर दीजिए :
(i) 4x² – 3x + 7 
(ii) y² + √2
(iii)3√t + t√2
(iv) y +
(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰
हल:
(i) 4x² – 3x + 7
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(ii) y² + √2
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(iii)3√t + t√2
यह एक चर में बहुपद नहीं है क्योंकि चर का घात एक भिन्नात्मक संख्या है कोई प्राकृत संख्या नहीं है |

(iv) y +
यह एक चर में बहुपद नहीं है |

(v) x¹⁰ + y³ + t^​50
यह एक चर में बहुपद नहीं है | बल्कि यह तीन चर में बहुपद है |

Q2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिए |
(i) 2 + x² + x 
(ii) 2 – x² + x³
iii) x² + x
(iv) √2x −1
हल: 
(i) 2 + x² + x
x² का गुणांक = 1

(ii) 2 – x² + x³
x² का गुणांक = –1 ​

(iii) x² + x
x² का गुणांक =

(iv) √2x −1
x² का गुणांक = 0 [क्योंकि यहाँ x² नहीं है इसलिए इसका गुणांक शून्य होगा |]

Q3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए|
हल:
35 घात का एक द्विपदी
⇒ 2x³⁵ + 5y ​
Note: द्विपदी का अर्थ दो पदों वाला व्यंजक जैसे –  x + 5, 3a – 2b, 3t + 7 आदि.
100 घात का एक एकपदी
⇒ 3y¹⁰⁰
Note: एकपदी का अर्थ एक पद वाला व्यंजक जैसे- 3x, 5t, y, 3xy आदि.

Q4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के घात लिखिए:
(i) 5x³ + 4x² + 7x
(ii) 4 – y²
(iii) 5t – √7
(iv) 3
हल:
(i) 5x³ + 4x² + 7x
उत्तर: बहुपद का घात = 3
[नोट: बहुत का घात ज्ञात करने के लिए सभी घातों में से सबसे बड़ी घात को चुना जाता है |]

(ii) 4 – y^​2
उत्तर: बहुपद का घात = 2

(iii) 5t – √7
उत्तर: बहुपद का घात = 1

(iv) 3
उत्तर: बहुपद का घात = 0
[नोट: चूँकि यहाँ कोई चर नहीं है इसलिए बहुपद का घात शून्य (0) है |]

Q5. निम्नलिखित को रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद में वर्गीकृत कीजिए:
(i) x^​2 + x 
(ii) x – x³ 
(iii) y + y² + 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) r² 
(vii) 7x²
हल:
(i) x^​2 + x
उत्तर: द्विघात बहुपद

(ii) x – x³
उत्तर: त्रिघात बहुपद

(iii) y + y² + 4
उत्तर: द्विघात बहुपद

(iv) 1 + x
उत्तर: रैखिक बहुपद

(v) 3t
उत्तर: रैखिक बहुपद

(vi) r²
उत्तर: द्विघात बहुपद

(vii) 7x²
उत्तर: त्रिघात बहुपद

प्रश्नावली 2.2

प्र1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = –1
(iii) x = 2
हल:
(i) p(x) = 5x – 4x² + 3
बहुपद p(x) में x = 0 रखने पर
P(0) = 5(0) – 4(0)² + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
अत: बहुपद का मान 3 है |

(ii) p(x) = 5x – 4x² + 3
बहुपद p(x) में x = -1 रखने पर
P(1) = 5(-1) – 4(-1)² + 3 = – 5 – 4 + 3 = – 9 + 3 = – 6
अत: बहुपद का मान – 6 है |

(iii) p(x) = 5x – 4x² + 3
बहुपद p(x) में x = 2 रखने पर
P(2) = 5(2) – 4(2)² + 3 = 10 -16 + 3 = – 3
अत: बहुपद का मान – 3 है |

Q2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए| 
(i)  p(y) = y² – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t ² – t ³
(iii) p(x) = x³
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल:
(i) p(y) = y² – y + 1
P(0) के लिए
P(0) = (0)²– 0 + 1 = 1
P(1) के लिए
P(1) = (1)²– 1 + 1
= 1 – 1 + 1 = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)²– 2 + 1
= 4 – 2 + 1 = 3

(ii) p(t) = 2 + t + 2t²– t³
P(0) के लिए
P(0) = 2 + 0 + 2(0)²– (0)³ = 2
P(1) के लिए
P(1) = 2 + 1 + 2(1)² – (1)³ = 4

P(2) के लिए
P(2) = 2 + 2 + 2(2)²– (2)³
= 4 + 8 – 8 = 4

(iii) p(x) = x³
P(0) के लिए
P(0) = (0)³ = 0
P(1) के लिए
P(1) = (1)³ = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)³ = 8

(iv) P(x) = (x – 1) (x + 1)
P(0) के लिए
P(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (-1) (1) = -1
P(1) के लिए
P(1) = (1 – 1) (1 + 1) = 0 (1) = 0
P(2) के लिए
P(2) = (2 – 1) (2 + 1) = 1(3) = 3

Q3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शुन्यक हैं :

हल:  
(i) P(x) = 3x + 1

p(x) = 0, अत: दिया गया x का मान बहुपद का शुन्यक है |
(ii) P(x) = 5x – π

= 5 – π
∵ ​P(x) ≠ 0
∴ x के लिए दिया गया मान P(x) का शुन्यक नहीं है|

(iii) P(x) = x² – 1

Q4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति मेंबहुपद का शुन्यक ज्ञात कीजिए :
(i) P(x) = x + 5
(ii) P(x) = x – 5
(iii) Px) = 2x + 5
(iv) P(x) = 3x – 2
(v) P(x) = 3x
(vi) P(x) = ax, a ≠ 0
हल (i) :
(i)   P(x) = x + 5
⇒ x + 5 = 0
⇒ x = – 5
बहुपद का शुन्यक – 5 हैं |

 हल (ii) :
(ii) P(x) = x – 5
⇒ x – 5  = 0
⇒ x = 5
बहुपद का शुन्यक 5 है|

बहुपद का शुन्यक है |

(iv)  P(x) = 3x – 2
3x – 2 = 0 ≠

बहुपद का शुन्यक है |

प्रश्नावली 2.3

Q1. x³ + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए : 
(i) x + 1 
(ii) x – 
(iii) x 
(iv) x + θ
(v) 5 + 2x 
हल : (i) x³ + 3x² + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर 

अत: भाग देने पर शेषफल 0 है|

हल : (iii)  x³ + 3x² + 3x + 1 को x से भाग देने पर       

अत: भाग देने पर शेषफल 1 है|

हल : (iv) x³ + 3x² + 3x + 1 को x + π से भाग देने पर 

अत: भाग देने पर शेषफल – π³ + 3π² – 3π + 1 है|
हल : (v) x³ + 3x² + 3x + 1 को 5 + 2x से भाग देने पर

Q2. x³ – ax² + 6x – a  को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए |
हल : p(x) = x³ – ax² + 6x – a  और g(x) = x – a है |
g(x) = x – a का शुन्यक
अत:  x – a = 0
x = a
अत: शेषफल प्रमेय से
p(x) को x – a से भाग देने पर शेषफल प्रमेय द्वारा शेषफल p(a) प्राप्त होगा |
इसलिए, p(a) = (a)³ – a(a)² + 6(a) – a
= a³ – a³ + 6a – a = 5a
अत: शेषफल 5a है |

प्रश्नावली 2.4

Q1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है|
(i) x³ + x² + x + 1
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ – x³ – (2 + √2)x + √2
हल : (i) p(x) = x³ + x² + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक है और x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है इसलिए गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

Q2. गुणनखंड प्रमेय लागु करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
हल : (i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
g(x) का शुन्यक
⇒  x + 1 = 0
अत: x = – 1
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-1) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1  दिया है |
अब, p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² – 2(-1) – 1
= 2 (-1) + 1 + 2 – 1 = – 2 + 1 + 2 – 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है इसलिए -1 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) का शुन्यक
⇒ x + 2 = 0
अत: x = – 2
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-2) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1  दिया है |
अब, p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1
= -8 + 12 – 6 + 1 = 13 – 14 = – 1
चूँकि p(-2) = – 1 है इसलिए -2 p(x) का एक शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 2 p(x) का एक गुणनखंड भी नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
g(x) का शुन्यक
⇒ x – 3 = 0
अत: x = 3
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(3) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x³ – 4x² + x + 6  दिया है |
अब, p(3) = (3)³ – 4(3)² + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6 = 36 – 36 = 0
चूँकि p(3) = 0 है इसलिए 3 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x – 3 p(x) का एक गुणनखंड है |

Q3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो :
(i) p(x) = x² + x + k
(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
(iii) p(x) = kx² – √2x + 1
(iv) p(x) = kx² – 3x + k
हल : (i) p(x) = x² + x + k
x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = x² + x + k = 0
p(1) = (1)² + (1) + k = 0
1 + 1 + k = 0
2 + k = 0
k = – 2

हल : (ii) p(x) = 2x² + kx + √2
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है|
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = 2x² + kx + √2 = 0
p(1) = 2(1)² + k(1) + √2  = 0
2 + k + √2 = 0
k = – 2 – √2
k = – (2 + √2)

हल : (iii) p(x) = kx² – √2x + 1
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx² – √2x + 1 = 0
p(1) = k(1)² – √2(1) + 1 = 0
k – √2 + 1 = 0
k = √2 – 1

हल : (iv) p(x) = kx² – 3x + k
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx² – 3x + k = 0
p(1) = k(1)² – 3(1) + k = 0
k – 3 + k = 0
2k – 3 = 0
2k = 3
k = 3/2

Q4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x² – 7x + 1
(ii) 2x² + 7x + 3
(iii) 6x² + 5x – 6
(iv) 3x² – x – 4
हल : (i) 12x² – 7x + 1
⇒ 12x² – 3x – 4x + 1
⇒ 3x(4x – 1) – 1(4x – 1)
⇒ (4x – 1) (3x – 1)

हल : (ii) 2x² + 7x + 3
⇒ 2x² + 6x + x + 3
⇒ 2x(x + 3) + 1(x + 3)
⇒ (x + 3) (2x + 1)

हल :  (iii) 6x² + 5x – 6
⇒ 6x² + 9x – 4x – 6
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3)
⇒ (2x + 3) (3x – 2)

हल : (iv) 3x² – x – 4
⇒ 3x² – 4x + 3x – 4
⇒ x(3x – 4) + 1(3x – 4)
⇒ (3x – 4) (x + 1)

Q5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x³ – 2x² – x + 2
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1
हल : (i) x³ – 2x² – x + 2
बहुपद का संभावित शुन्यक हैं – ±1 और ±2
अत: बहुपद x³ – 2x² – x + 2 में x = 1 रखने पर
p(x) = (1)³ – 2(1)² – (1) + 2
=  1 – 2 – 1 + 2 =  0
चूँकि p(x) = 0 है, अत: 1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

पहली विधि : x – 1 से x³ – 2x² – x + 2 में भाग देने पर

अत: x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1) (x² – x – 2) [चूँकि p(x) = g(x) × q(x) ]
= (x – 1) (x² – 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

नोट: चूँकि यह त्रिघात बहुपद है इसलिए इसके तीन शुन्यक होंगे और तीन गुणनखंड होंगे |

दूसरी विधि : हम यहाँ पर x – 1 से भाग की लंबी प्रक्रिया न अपनाकर गुणनखंड विधि से अन्य गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं | चूँकि एक गुणनखंड x – 1 प्राप्त है|
x³ – 2x² – x + 2 = x²(x -1) – x² – x + 2
= x²(x -1) – x(x – 1) – 2x + 2
= x²(x -1) – x(x – 1) – 2(x – 1)
= (x – 1) (x² – x – 2)
= (x – 1) (x² – 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

तीसरी विधि : हमें बहुपद का संभावित शुन्यक ±1 और ±2 ज्ञात है :
p(x) में x = 1, – 1, 2 और – 2 रखने पर
p(1) = 0 है | अत: x – 1 एक गुणनखंड है |

अब p(-1) = x³ – 2x² – x + 2
= (-1)³ – 2(-1)² -(-1) + 2
= -1 – 2 + 1 + 2 = 0
अत: p(-1) = 0 है अत: x + 1 एक गुणनखंड है |

अब p(2) = x³ – 2x² – x + 2
= (2)³ – 2(2)² -(2) + 2
= 8 – 8 – 2 + 2
= 0
p(2) = 0 है अत: x – 2 p(x) का एक गुणनखंड है |

अब p(-2) = x³ – 2x² – x + 2
= (-2)³ – 2(-2)² -(-2) + 2
= -8 – 8 + 2 + 2
= -16 + 4 = -12
p(-2) ≠ 0 अत: – 2 p(x) का शुन्यक नहीं है |
अत:  x³ – 2x² – x + 2 के गुणनखंड है (x – 1) (x + 1) (x – 2)

हल : (ii) x³ – 3x² – 9x – 5
बहुपद का संभावित शुन्यक ± 1 और ±5 है |
बहुपद में x = -1 रखने पर
p(-1) = x³ – 3x² – 9x – 5
= (-1)³ – 3(-1)² – 9(-1) – 5
= -1 – 3 + 9 – 5 = 9 – 9 = 0
अत: x = -1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x + 1 एक गुणनखंड है |
x³ – 3x² – 9x – 5 = x²(x + 1) – 4x² – 9x – 5
= x²(x + 1) – 4x(x + 1) – 5x – 5
= x²(x + 1) – 4x(x + 1) – 5(x + 1)
= (x + 1) (x² – 4x – 5)
= (x + 1) (x² – 5x + x – 5)
= (x + 1) [x(x – 5) +1(x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x – 5) और (x + 1) है |

हल : (iii) x³ + 13x² + 32x + 20
बहुपद का संभावित शुन्यक ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 हैं |
बहुपद में x = – 1 रखने पर
p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
= (-1)³ + 13(-1)² + 32(-1) + 20
= -1 + 13 – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है अत: x + 1 बहुपद का एक गुणनखंड है |
x³ + 13x² + 32x + 20 = x²(x + 1) + 12x² + 32x + 20
= x²(x + 1) + 12x(x + 1) + 20x + 20
= x²(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) (x² + 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [(x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x + 10) और (x + 2) है|

हल : (iv) 2y³ + y² – 2y – 1
= y²(2y + 1) -1(2y + 1)
= (y² – 1) (2y + 1)
= (y + 1) ( y – 1) (2y + 1)
बहुपद के गुणनखंड (y + 1), ( y – 1) और (2y + 1)हैं |

उपयोगी बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ: 

1. (x + y)² = x² + 2xy + y²
2. (x – y)² = x² – 2xy + y²
3. x² – y² = (x + y) (x – y)
4. (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
5. (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
6. (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
7. x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
8. x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
9. (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
10. x³ + y³ + z³ – 3xyz = ( x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)

प्रश्नावली 2.5

Q1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल: 
(i) (x + 4) (x + 10) 
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10)x + (4)(10)
= x² + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10) 
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 8) (x – 10) = x² + [8 + (-10)]x + (8)(-10)
= x² – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(3x + 4) (3x – 5) = (3x)² + [4 + (-5)]3x + (4)(-5)
= 9x² – 3x – 20

सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x² – y² का प्रयोग करने पर

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x² – y² का प्रयोग करने पर  ​
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)² – (2x)²
= 9 – 4x²

Q2. सीधे गुना किये बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हल:
(i) 103 × 107 = (100 + 3) (100 + 7)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(100 + 3) (100 + 7) = (100)²​ + (3 + 7)100 + 3×7
=10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96 = (90 + 5) (90 + 6)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(90 + 5) (90 + 6) = (90)²​ + (5 + 6)90 + 5×6
= 8100 + 990 + 30 = 9120

(iii)  104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x² – y² का प्रयोग करने पर  ​
(100)² – (4)²
= 10000 – 16 = 9984

3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x² + 6xy + y² 
(ii) 4y² – 4y + 1

हल:
(i) 9x² + 6xy + y² 
= (3x)² + 2.3x.y + (y)²     [ ∵ x² + 2xy + y² = (x + y)²]
∴ = (3x + y)²
=  (3x + y)  (3x + y)

(ii) 4y² – 4y + 1 
= (2y)² – 2.2y.1 + (1)²     [ ∵ x² – 2xy + y² = (x – y)²]
∴ = (2y – 1)²
=  (2y – 1)  (2y – 1)


[ ∵ x² – y² = (x + y) (x – y) ​]

Q4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (x + 2y + 4z)² 
(ii) (2x – y + z)² 
(iii) (–2x + 3y + 2z)²
(iv) (3a – 7b – c)² 
(v) (–2x + 5y – 3z)²
हल:
(i) (x + 2y + 4z)²  
यहाँ माना कि a = x, b = 2y, c = 4z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (x + 2y + 4z)² = (x)² + (2y)² + (4z)² + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx

(ii) (2x – y + z)² 
यहाँ माना कि a = 2x, b = – y, c = z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (2x – y + z)² = (2x)² + (- y)² + (z)² + 2(2x)(- y) + 2(- y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4zx

(iii) (–2x + 3y + 2z)²
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 3y, c = 2z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 3y + 2z)²
= (-2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy  + 12yz – 8zx

(iv) (3a – 7b – c)² 
यहाँ माना कि x = 3a, y = -7b, z = -c और x, y तथा z का मान सर्वसमिका
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zxमें रखने पर
∴ (3a – 7b – c)²
= (3a)² + (-7b)² + (-c)² + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab  + 14bc – 6ac

(v) (-2x + 5y – 3z)²
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 5y, c = -3z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 5y – 3z)²
= (-2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy  – 30yz + 12zx

Q5. गुणनखंड कीजिए:
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
हल:
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)² + (3y)² + (4z)² + 2(2x)(3y) + 2(3y)(4z) + 2(4z)(2x)
[∵ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)² ]
= (2x + 3y + 4z)²
= (2x + 3y + 4z) (2x + 3y + 4z)

Q6. निम्नलिखित घनों को विस्तारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)³ 
(ii) (2a – 3b)³


हल:
(i) (2x + 1)³ 
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]
(2x + 1)³ = (2x)³ + 3 (2x)² (1) + 3 (2x) (1)² + (1)³
= 8x³ + 12x² + 6x + 1

(ii) (2a – 3b)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³]
(2a – 3b)³ = (2a)³ – 3 (2a)² (3b) + 3(2a) (3b)² – (3b)³
= 8a³ – 36a²b + 54ab² – 27b³

[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]


[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]

Q7. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)³ 
(ii) (102)³ 
(iii) (998)³
हल : 
(i) (99)³ 
= (100 – 1)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]
(100 – 1)³ = (100)³ – 3(100)²(1) + 3(100)(1)² – (1)³
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 1000300 – 30001 = 970299

(ii) (102)³ 
= (100 + 2)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]
(100 + 2)³ = (100)³ + 3 (100)² (2)+ 3 (100) (2)² + (2)³
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8 = 1061208

(iii) (998)³
= (1000 – 2)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]
(1000 – 2)³ = (1000)³ – 3 (1000)² (2)+ 3(1000) (2)² – (2)³
= 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 1000012000 – 6000008
= 994011992

Q8. निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए :
(i) 8a³ + b3 + 12a²b + 6ab²
(ii) 8a² – b² – 12a²b + 6ab²
(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²

हल:
(i) 8a³ + b3 + 12a²b + 6ab² 
= (2a)³ +(b)³ + 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x³  + y³ + 3x²y + 3xy² = (x + y)³ ]
= (2a)³ +(b)³ + 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)² = (2a + b)³
= (2a + b)(2a + b)(2a + b)

(ii) 8a² – b² – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ – (b)³ – 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]
= (2a)³ – (b)³ – 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)² = (2a – b)³​
= (2a – b)(2a – b)(2a – b)

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
= (3)³ – (5a)³ – 3(3)²(5a) + 3(3)(5a)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]
= (3)³ – (5a)³ – 3(3)²(5a) + 3(3)(5a)²= (3 – 5a)³​
= (3 – 5a)(3 – 5a)(3 – 5a)

(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²  
= (4a)³ – (3b)³ – 3(4a)²(3b) + 3(4a)(3b)²
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]
= (4a)³ – (3b)³ – 3(4a)²(3b) + 3(4a)(3b)² = (4a – 3b)³​
= (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b)
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ – y³ – 3x²y + 3xy² = (x – y)³ ]

Q9. सत्यापित कीजिए :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
हल :
RHS = (x + y) (x² – xy + y²)
= x(x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³

= x³ + y³
∵ LHS = RHS सत्यापित

(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
हल :
RHS = (x – y) (x² + xy + y²)
x(x² + xy + y²) – y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³

= x³ – y³
∵ LHS = RHS सत्यापित |

Q10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) 27y³ + 125z³ 
(ii) 64m³ – 343n³
हल : 
(i) 27y³ + 125z³ 
= (3y)³ + (5z)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²) ]
(3y)³ + (5z)³​ = (3y + 5y) [(3y)² – (3y)(5z) + (5z)²]
= (3y + 5y) (9y² – 15yz + 25z²)

(ii) 64m³ – 343n³
हल : 
(ii) 64m³ – 343n³
= (4m)³ – (7n)³
[सर्वसमिका के प्रयोग से x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²) ]
(4m)³ – (7n)³​ = (4m – 7n) [(4m)² + (4m)(7n) + (7n)²]
= (4m – 7n) (16m² + 28mn + 49n^​2)

Q11. गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए : 27x³ + y³ + z³ – 9xyz
हल : 
= (3x)³ + (y)³ + (z)³ – 9xyz
∵ x³ + y³ + z³ – 3xyz =  (x + y + z) (x² + y² + z^​2 – xy – yz – zx)
सर्वसमिका के प्रयोग से :
= (3x + y + z) ((3x)² + (y)² + (z)² – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x))
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx)

Q12. सत्यापित कीजिए: 
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
हल : 
LHS =  (x + y + z) [x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x²]
= (x + y + z) (2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2xz)
= × 2(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – xz)
= (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz)
= x³ + y³ + z³ – 3xyz [सर्वसमिका के प्रयोग से ]
LHS = RHS

Q13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है | ​
हल : x + y + z = 0 दिया है |
x³ + y³ + z³ – 3xyz = ( x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= (0) (x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 0
अत: x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0
या x³ + y³ + z³ = 3xyz सत्यापित

Q14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए : 
(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³
(ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³
हल : (i) (-12)³ + (7)³ + (5)³

प्रश्न 13. में हमने एक सर्वसमीका प्राप्त किया था कि यदि x + y + z = 0 हो तो
x³ + y³ + z³ = 3xyz है |
अत: इस सर्वसमिका में x = -12, y = 7 और z = 5 रखने पर
चूँकि – 12 + 7 + 5 => -12 + 12 = 0
अत: x + y + z = 0 है |
अब, x³ + y³ + z³ = 3xyz  [x, y, और z का मान रखने पर ]
=> (-12)³ + (7)³ + (5)³ = 3 × (-12) × 7 × 5
= – 1260

हल : (ii) (28)³ + (–15)³ + (–13)³
28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0
चूँकि x + y + z = 0 है |
इसलिए x³ + y³ + z³ = 3xyz
अब, (28)³ + (–15)³ + (–13)³​ = 3 × 28 × (-15) × (-13)
= 133380

Q15. नीचे दिए गए आयातों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए है, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिये | 
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12 
(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12 
हल : (i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
अत: 25a² – 35a + 12 के दो गुणनखंड होंगे जिसमें एक लंबाई होगा और दूसरा चौड़ाई होगा |
गुणनखंड करने पर :
25a² – 35a + 12 = 25a² + 15a + 20a + 12
= 5a(5a + 3) + 4(5a + 3)
= (5a + 3) (5a + 4)
चूँकि (5a + 3) < (5a + 4) है |
अत: लंबाई = 5a + 4 और चौड़ाई = 5a + 3

हल : (ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
गुणनखंड करने पर
35y² + 13y – 12 ​= 35y²​ + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3)
अत: लंबाई = 5y + 4 और चौड़ाई = 7y – 3

Q16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ? 
(i) आयतन : 3x³ – 12x 
(ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k 
हल : (i) आयतन : 3x³ – 12x
गुणनखंड करने पर
आयतन = 3x³ – 12x = 3x(x – 4)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 3, B = x और H = x – 4

हल : (ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
आयतन = 12ky² + 8ky – 20k
= 4k (3y² + 2y – 5)
= 4k (3y² + 5y – 3y – 5)
= 4k [y (3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 4k, B = (3y + 5) और H = (y – 1)